1952 AMC 12 Problema 23

Question

Si

\dfrac{x^2-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}

tiene raíces numéricamente iguales pero de signos opuestos, el valor de

m

debe ser:

If

\dfrac{x^2-bx}{ax-c}=\dfrac{m-1}{m+1}

has roots which are numerically equal but of opposite signs, the value of

m

must be:

\dfrac{a-b}{a+b}

\dfrac{a+b}{a-b}

c

\dfrac1c

1

Elimina el denominador y ordena la ecuación como una cuadrática en

x

Clear the denominator and collect the equation as a quadratic in

x

Las raíces opuestas suman cero, por lo que el coeficiente de

x

debe anularse

Opposite roots have sum zero, so the coefficient of

x

must vanish

La multiplicación cruzada da

\begin{aligned} (m+1)x^2 &-(m+1)bx\\ &-(m-1)ax\\ &\quad{}+(m-1)c=0. \end{aligned}

Las raíces de igual magnitud y signos opuestos tienen suma

0,

por lo que el coeficiente de

x

es

0.

Así,

m(a+b)+(b-a)=0,

y

m=\frac{a-b}{a+b}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Cross-multiplication gives

\begin{aligned} (m+1)x^2 &-(m+1)bx\\ &-(m-1)ax\\ &\quad{}+(m-1)c=0. \end{aligned}

Roots that are equal in magnitude and opposite in sign have sum

0,

so the coefficient of

x

is

0.

Thus

m(a+b)+(b-a)=0,

and

m=\frac{a-b}{a+b}.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 23 en otros años