1957 AMC 12 Problema 22

Question

Si

\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1=0,

entonces

4x

es igual a:

If

\sqrt{x-1}-\sqrt{x+1}+1=0,

then

4x

equals:

5

4\sqrt{-1}

0

1\frac14

ningún valor real

no real value

Reordena para obtener

\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+1

Rearrange to

\sqrt{x+1}=\sqrt{x-1}+1

Después de elevar al cuadrado una vez, aísla

\sqrt{x-1}

After squaring once, isolate

\sqrt{x-1}

Reordenamos y elevamos al cuadrado:

\begin{aligned} \sqrt{x+1}&=\sqrt{x-1}+1,\\ x+1&=x-1+2\sqrt{x-1}+1. \end{aligned}

Así,

2\sqrt{x-1}=1,

de modo que

x-1=\frac{1}{4}

y

x=\frac{5}{4}.

Este valor satisface la ecuación original. Por lo tanto,

4x=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Rearrange and square:

\begin{aligned} \sqrt{x+1}&=\sqrt{x-1}+1,\\ x+1&=x-1+2\sqrt{x-1}+1. \end{aligned}

Thus

2\sqrt{x-1}=1,

so

x-1=\frac{1}{4}

and

x=\frac{5}{4}.

This value satisfies the original equation. Therefore

4x=5.

Thus, the correct answer is A.

El Problema 22 en otros años