1961 AMC 12 Problema 25

Question

El triángulo

ABC

es isósceles con base

AC.

Los puntos

P

y

Q

están, respectivamente, en

CB

y

AB,

y

AC=AP=PQ=QB.

La medida del ángulo

B

es:

Triangle

ABC

is isosceles with base

AC.

Points

P

and

Q

are respectively in

CB

and

AB

and such that

AC=AP=PQ=QB.

The number of degrees in angle

B

is:

25\dfrac57

26\dfrac13

30

40

no se determina con la información dada

not determined by the information given

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles persecución de ángulos suma de ángulos

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Sea

\angle B=m

y usa cada par de segmentos iguales para formar triángulos isósceles

Let

\angle B=m

and use each pair of equal segments to create isosceles triangles

Pista grande:

Sigue los ángulos en los triángulos

BQP,

AQP,

y

APC

Chase the angles through triangles

BQP,

AQP,

and

APC

Solución:

Sea

\angle B=m.

Como

PQ=QB,

el triángulo

BQP

da

\angle QPB=m

y

\angle AQP=2m.

Como

AP=PQ,

el triángulo

AQP

da

\angle QAP=2m,

y

\angle QPA=180^\circ-4m.

Como

B,P,C

son colineales,

\angle APC=3m.

Ahora

AP=AC

da

\angle ACP=3m.

Finalmente,

AB=BC

hace que ambos ángulos de la base de

ABC

sean

3m,

y

m+3m+3m=180^\circ.

Por lo tanto,

m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.

Así, la respuesta correcta es A.

Let

\angle B=m.

Since

PQ=QB,

triangle

BQP

gives

\angle QPB=m

and

\angle AQP=2m.

Since

AP=PQ,

triangle

AQP

gives

\angle QAP=2m,

so

\angle QPA=180^\circ-4m.

As

B,P,C

are collinear,

\angle APC=3m.

Now

AP=AC

gives

\angle ACP=3m.

Finally

AB=BC

makes both base angles of

ABC

equal to

3m,

and

m+3m+3m=180^\circ.

Therefore

m=\frac{180^\circ}{7}=25\dfrac57^\circ.

Thus, the correct answer is A.

1961 AMC 12 Problema 25

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1780

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 25 en otros años