1962 AMC 12 Problema 7

Question

Las bisectrices de los ángulos exteriores en

B

y

C

del triángulo

ABC

se cortan en

D.

Entonces, si todas las medidas están en grados, el ángulo

BDC

es igual a:

Let the bisectors of the exterior angles at

B

and

C

of triangle

ABC

meet at

D.

Then, if all measurements are in degrees, angle

BDC

equals:

\dfrac12(90-A)

90-A

\dfrac12(180-A)

180-A

180-2A

Cada bisectriz de un ángulo exterior forma con un lado un ángulo de

90^\circ-\frac{B}{2}

o

90^\circ-\frac{C}{2}

Each exterior-angle bisector makes an angle

90^\circ-\frac{B}{2}

or

90^\circ-\frac{C}{2}

with a side

Aplica la suma de ángulos del triángulo

BDC

y usa

B+C=180^\circ-A

Apply the angle sum in triangle

BDC

and use

B+C=180^\circ-A

Los ángulos del triángulo

BDC

en

B

y

C

son

90^\circ-\frac{B}{2}

y

90^\circ-\frac{C}{2}.

Por tanto,

\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2}. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The angles of triangle

BDC

at

B

and

C

are

90^\circ-\frac{B}{2}

and

90^\circ-\frac{C}{2}.

Thus

\begin{aligned} \angle BDC &=180^\circ-\left(90^\circ-\frac B2\right) \\ &\quad-\left(90^\circ-\frac C2\right)\\ &=\frac{B+C}{2} \\ &=\frac{180^\circ-A}{2}. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 7 en otros años