1965 AMC 12 Problema 21

Question

Es posible elegir

x\gt\dfrac23

de modo que el valor de

\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x

sea:

It is possible to choose

x\gt\dfrac23

in such a way that the value of

\log_{10}(x^2+3)-2\log_{10}x

is:

negativo

negative

cero

zero

uno

one

menor que cualquier número positivo que se especifique

smaller than any positive number that might be specified

mayor que cualquier número positivo que se especifique

greater than any positive number that might be specified

Combina los logaritmos para obtener

\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})

Combine the logarithms into

\log_{10}(1+\frac{3}{x^2})

Haz que

x

crezca sin límite

Let

x

grow without bound

La expresión es

\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right). \end{gathered}

Siempre es positiva, pero tiende a

0

cuando

x

crece. Por tanto, puede hacerse menor que cualquier número positivo especificado.

Así, la respuesta correcta es D.

The expression is

\begin{gathered} \log_{10}\left(\frac{x^2+3}{x^2}\right)\\ =\log_{10}\left(1+\frac3{x^2}\right). \end{gathered}

It is always positive, but tends to

0

as

x

grows. Therefore it can be made smaller than any specified positive number.

Thus, the correct answer is D.

El Problema 21 en otros años