1966 AMC 12 Problema 23

Question

Si

x

es real y

4y^2+4xy+x+6=0,

entonces el conjunto completo de valores de

x

para los que

y

es real es:

If

x

is real and

4y^2+4xy+x+6=0,

then the complete set of values of

x

for which

y

is real, is:

x\leq-2

o

x\geq3

x\leq-2

or

x\geq3

x\leq2

o

x\geq3

x\leq2

or

x\geq3

x\leq-3

o

x\geq2

x\leq-3

or

x\geq2

-3\leq x\leq2

-2\leq x\leq3

Trata la ecuación como una cuadrática en

y

Treat the equation as a quadratic in

y

Exige que su discriminante

16(x-3)(x+2)

sea no negativo

Require its discriminant

16(x-3)(x+2)

to be nonnegative

Como cuadrática en

y,

la ecuación tiene discriminante

\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}

Este es no negativo exactamente cuando

x\leq-2

o

x\geq3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

As a quadratic in

y,

the equation has discriminant

\begin{aligned} &(4x)^2-16(x+6)\\ &\qquad=16(x-3)(x+2). \end{aligned}

This is nonnegative exactly when

x\leq-2

or

x\geq3.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 23 en otros años