1967 AMC 12 Problema 19

Question

El área de un rectángulo no cambia cuando se alarga

2\dfrac12

pulgadas y se estrecha

\dfrac23

de pulgada, ni cuando se acorta

2\dfrac12

pulgadas y se ensancha

\dfrac43

de pulgada. Su área, en pulgadas cuadradas, es:

The area of a rectangle remains unchanged when it is made

2\dfrac12

inches longer and

\dfrac23

inch narrower, or when it is made

2\dfrac12

inches shorter and

\dfrac43

inch wider. Its area, in square inches, is:

30

\dfrac{80}{3}

24

\dfrac{45}{2}

20

Sean

l

y

w

el largo y el ancho originales

Let the original length and width be

l

and

w

Desarrolla ambas ecuaciones de áreas iguales; los términos

lw

se cancelan

Expand both equal-area equations; the

lw

terms cancel

Las dos condiciones son

\begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned}

Al desarrollar, dan

-4l+15w=10

y

8l-15w=20.

Por tanto,

l=\frac{15}{2},

w=\frac{8}{3},

y

lw=20.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The two conditions are

\begin{aligned} lw&=\left(l+\frac52\right)\left(w-\frac23\right),\\ lw&=\left(l-\frac52\right)\left(w+\frac43\right). \end{aligned}

After expanding, these give

-4l+15w=10

and

8l-15w=20.

Hence

l=\frac{15}{2},

w=\frac{8}{3},

and

lw=20.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 19 en otros años