1969 AMC 12 Problema 21

Question

Si la gráfica de

x^2+y^2=m

es tangente a la de

x+y=\sqrt{2m},

entonces:

If the graph of

x^2+y^2=m

is tangent to that of

x+y=\sqrt{2m},

then:

m

debe ser igual a

\dfrac12

m

must equal

\dfrac12

m

debe ser igual a

\dfrac1{\sqrt2}

m

must equal

\dfrac1{\sqrt2}

m

debe ser igual a

\sqrt2

m

must equal

\sqrt2

m

debe ser igual a

2

m

must equal

2

m

puede ser cualquier número real no negativo

m

may be any nonnegative real number

El círculo tiene centro en el origen y radio

\sqrt m

The circle has center the origin and radius

\sqrt m

Calcula la distancia del origen a

x+y-\sqrt{2m}=0

Find the distance from the origin to

x+y-\sqrt{2m}=0

El círculo tiene radio

\sqrt m.

La distancia del origen a la recta es

\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.

Por ello, la recta es tangente para todo

m\ge0

(el caso

m=0

degenera en el origen).

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The circle has radius

\sqrt m.

The distance from the origin to the line is

\frac{\lvert-\sqrt{2m}\rvert}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt m.

Thus the line is tangent for every

m\ge0

(with the

m=0

case degenerate at the origin).

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 21 en otros años