1969 AMC 12 Problema 6

Question

El área del anillo entre dos círculos concéntricos es

12\dfrac12\pi

pulgadas cuadradas. La longitud, en pulgadas, de una cuerda del círculo mayor tangente al menor es:

The area of the ring between two concentric circles is

12\dfrac12\pi

square inches. The length of a chord of the larger circle tangent to the smaller circle, in inches, is:

\dfrac5{\sqrt2}

5

5\sqrt2

10

10\sqrt2

Si los radios son

R

y

r,

el área da

R^2-r^2=\frac{25}{2}

If the radii are

R

and

r,

the area gives

R^2-r^2=\frac{25}{2}

La mitad de la cuerda tangente, el radio menor y el radio mayor forman un triángulo rectángulo

Half the tangent chord, the smaller radius, and the larger radius form a right triangle

Sean los radios

R

y

r.

El área del anillo da

\pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi.

El radio al punto de tangencia biseca la cuerda. Si su longitud es

L,

entonces

\left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2.

Así,

L=2\sqrt{R^2-r^2},

por lo que

L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the radii be

R

and

r.

The ring area gives

\pi(R^2-r^2)=\frac{25}{2}\pi.

The radius to the tangent point bisects the chord. If its length is

L,

then

\left(\frac L2\right)^2+r^2=R^2.

Thus

L=2\sqrt{R^2-r^2},

so

L=2\sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt2.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 6 en otros años