1970 AMC 12 Problema 19

Question

La suma de una serie geométrica infinita de razón común

r

, donde

|r|\lt1,

es

15,

y la suma de los cuadrados de los términos de esta serie es

45.

El primer término de la serie es:

The sum of an infinite geometric series with common ratio

r

such that

|r|\lt1

is

15,

and the sum of the squares of the terms of this series is

45.

The first term of the series is:

12

10

5

3

2

Respuesta: C

Conceptos:sucesión geométrica sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1990

Pista pequeña:

Si el primer término es

a,

escribe una ecuación para cada suma infinita

If the first term is

a,

write one equation for each infinite sum

Pista grande:

Usa

\frac{a}{1-r}=15

y

\frac{a^2}{1-r^2}=45

, y luego cancela un factor

1-r

Use

\frac{a}{1-r}=15

and

\frac{a^2}{1-r^2}=45

, then cancel a factor of

1-r

Solución:

Sea

a

el primer término. Entonces

\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.

Como

1-r^2=(1-r)(1+r),

al dividir la segunda ecuación entre la primera obtenemos

\frac{a}{1+r}=3.

Por lo tanto,

a=15(1-r)=3(1+r).

Al resolver obtenemos

r=\frac{2}{3}

y

a=5.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first term be

a.

Then

\frac{a}{1-r}=15,\qquad \frac{a^2}{1-r^2}=45.

Since

1-r^2=(1-r)(1+r),

dividing the second equation by the first gives

\frac{a}{1+r}=3.

Thus

a=15(1-r)=3(1+r).

Solving gives

r=\frac{2}{3}

and

a=5.

Therefore, the correct answer is C.