1971 AMC 12 Problema 29

Question

Dada la progresión

\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}

el menor entero positivo

n

tal que el producto de los primeros

n

términos excede

100{,}000

es:

Given the progression

\begin{gathered} 10^{\frac{1}{11}},10^{\frac{2}{11}},10^{\frac{3}{11}},\\ 10^{\frac{4}{11}},\ldots,10^{\frac{n}{11}}, \end{gathered}

the least positive integer

n

such that the product of the first

n

terms exceeds

100{,}000

is:

7

8

9

10

11

Suma los exponentes al multiplicar los términos

Add the exponents when multiplying the terms

Exige

\frac{n(n+1)}{22}\gt5

, teniendo en cuenta que la igualdad no basta

Require

\frac{n(n+1)}{22}\gt5

, noting that equality is not enough

El producto es

10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.

Excede

100{,}000=10^5

exactamente cuando

n(n+1)\gt110.

Para

n=10

hay igualdad, mientras que

n=11

sí funciona.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The product is

10^{\frac{1+2+\cdots+n}{11}}=10^{\frac{n(n+1)}{22}}.

It exceeds

100{,}000=10^5

exactly when

n(n+1)\gt110.

For

n=10

there is equality, while

n=11

works.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 29 en otros años