1971 AMC 12 Problema 6

Question

Sea

*

un símbolo que denota la siguiente operación binaria en el conjunto

S

de todos los números reales no nulos: para cualesquiera

a,

b\in S,

se define

a*b=2ab.

¿Cuál afirmación no es verdadera?

Let

*

be a symbol denoting the binary operation on the set

S

of all nonzero real numbers as follows: for any

a,

b\in S,

a*b=2ab.

Which statement is not true?

*

es conmutativa en

S

*

is commutative over

S

*

es asociativa en

S

*

is associative over

S

\frac{1}{2}

es un elemento identidad para

*

en

S

\frac{1}{2}

is an identity element for

*

in

S

Todo elemento de

S

tiene un inverso respecto de

*

Every element of

S

has an inverse for

*

\frac{1}{2a}

es un inverso respecto de

*

del elemento

a

de

S

\frac{1}{2a}

is an inverse for

*

of the element

a

of

S

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1740

Pista pequeña:

Determina primero la identidad

e

a partir de

a*e=a

First determine the identity

e

from

a*e=a

Pista grande:

Un inverso

x

de

a

debe satisfacer

a*x=\frac{1}{2}

An inverse

x

of

a

must satisfy

a*x=\frac{1}{2}

Solución:

La operación es conmutativa y

(a*b)*c=4abc=a*(b*c),

por lo que también es asociativa. Su identidad es

\frac{1}{2}.

El inverso de

a

debe satisfacer

2ax=\frac{1}{2},

así que es

x=\frac{1}{4a},

no

\frac{1}{2a}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The operation is commutative, and

(a*b)*c=4abc=a*(b*c),

so it is associative. Its identity is

\frac{1}{2}.

The inverse of

a