1972 AMC 12 Problema 20

Question

Si

\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},

donde

a\gt b\gt0

y

0^\circ\lt x\lt90^\circ,

entonces

\sin x

es igual a:

If

\tan x=\dfrac{2ab}{a^2-b^2},

where

a\gt b\gt0

and

0^\circ\lt x\lt90^\circ,

then

\sin x

is equal to:

\dfrac ab

\dfrac ba

\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2a}

\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{2ab}

\dfrac{2ab}{a^2+b^2}

Representa la tangente como la razón de catetos

2ab

y

a^2-b^2

Model the tangent as the ratio of legs

2ab

and

a^2-b^2

La hipotenusa correspondiente se simplifica porque

(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2

The corresponding hypotenuse simplifies because

(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2

Usa un triángulo rectángulo con cateto opuesto

2ab

y cateto adyacente

a^2-b^2.

Su hipotenusa es

\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}

Por tanto,

\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Use a right triangle with opposite leg

2ab

and adjacent leg

a^2-b^2.

Its hypotenuse is

\begin{aligned} &\sqrt{(2ab)^2+(a^2-b^2)^2}\\ &\qquad=\sqrt{(a^2+b^2)^2}\\ &\qquad=a^2+b^2. \end{aligned}

Hence

\sin x=\frac{2ab}{a^2+b^2}.

Therefore, the correct answer is E.

El Problema 20 en otros años