1973 AMC 12 Problema 20

Question

Un vaquero está

4

millas al sur de un arroyo que fluye directamente hacia el este. También está

8

millas al oeste y

7

millas al norte de su cabaña. Desea dar de beber a su caballo en el arroyo y regresar a casa. La menor distancia, en millas, que puede recorrer para lograrlo es

A cowboy is

4

miles south of a stream which flows due east. He is also

8

miles west and

7

miles north of his cabin. He wishes to water his horse at the stream and return home. The shortest distance (in miles) he can travel and accomplish this is

4+\sqrt{185}

16

17

18

\sqrt{32}+\sqrt{137}

Respuesta: C

Conceptos:reflexión (geometría)fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Refleja el punto de partida del vaquero respecto del arroyo recto

Reflect the cowboy’s starting point across the straight stream

Pista grande:

Después de la reflexión, el trayecto de dos tramos que pasa por el arroyo se convierte en un solo segmento recto hasta la cabaña

After reflection, the two-leg trip through the stream becomes one straight segment to the cabin

Solución:

Toma el arroyo como el eje

x

y coloca al vaquero en

C=(0,-4).

Su cabaña está entonces en

H=(8,-11).

Refleja

C

respecto del arroyo para obtener

D=(0,4).

Para cualquier punto

S

del arroyo,

CS=DS,

así que minimizar

CS+SH

equivale a minimizar

DS+SH.

Esto ocurre cuando

D,

S,

H

son colineales. La distancia mínima es

DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Take the stream as the

x

-axis and put the cowboy at

C=(0,-4).

His cabin is then

H=(8,-11).

Reflect

C

across the stream to

D=(0,4).

For any point

S

on the stream,

CS=DS,

so minimizing

CS+SH

is the same as minimizing

DS+SH.

This occurs when

D,

S,

H

are collinear. The minimum distance is

DH=\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17.

Therefore, the correct answer is C.