1975 AMC 12 Problema 19

Question

¿Qué números positivos

x

satisfacen la ecuación

(\log_3x)(\log_x5)=\log_35

?

Which positive numbers

x

satisfy the equation

(\log_3x)(\log_x5)=\log_35?

solo

3

y

5

3

and

5

only

solo

3,

5

y

15

3,

5

and

15

only

solo los números de la forma

5^n\cdot3^m,

donde

n

y

m

son enteros positivos

only numbers of the form

5^n\cdot3^m,

where

n

and

m

are positive integers

todos los

x\ne1

positivos

all positive

x\ne1

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: D

Conceptos:logaritmo manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1450

Pista pequeña:

Aplica la fórmula de cambio de base a los dos logaritmos de la izquierda

Apply the change-of-base formula to both logarithms on the left

Pista grande:

Después de cancelar, recuerda qué base positiva no está permitida

After cancellation, remember which positive base is forbidden

Solución:

Para

x\gt0,\ x\ne1,

el cambio de base convierte el lado izquierdo en

\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.

Al cancelar

\log x

queda

\frac{\log5}{\log3}=\log_35.

La expresión no está definida en

x=1.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

For

x\gt0,\ x\ne1,

change of base makes the left side

\frac{\log x}{\log3}\cdot\frac{\log5}{\log x}.

Canceling

\log x

leaves

\frac{\log5}{\log3}=\log_35.

The expression is undefined at

x=1.

Therefore, the correct answer is D.