1975 AMC 12 Problema 22

Question

Si

p

y

q

son primos y

x^2-px+q=0

tiene raíces enteras positivas distintas, ¿cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

I. La diferencia entre las raíces es impar.

II. Al menos una raíz es prima.

III.

p^2-q

es primo.

IV.

p+q

es primo.

If

p

and

q

are primes and

x^2-px+q=0

has distinct positive integral roots, then which of the following statements are true?

I. The difference of the roots is odd.

II. At least one root is prime.

III.

p^2-q

is prime.

IV.

p+q

is prime.

Solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

Solo

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

Solo

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

Solo

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{IV}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{IV}

only

Todas son verdaderas.

All are true.

Respuesta: E

Conceptos:Fórmulas de Vieta primo factor

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

El producto de las dos raíces enteras positivas es el primo

q

The product of the two positive integer roots is the prime

q

Pista grande:

Las raíces deben ser

1,q,

y el hecho de que su suma sea prima obliga a que

q=2

The roots must be

1,q,

and their prime sum forces

q=2

Solución:

Las raíces enteras positivas tienen producto

q,

así que son

1

y

q.

Su suma es

p=q+1,

que es prima solo cuando

q=2,

lo que da

p=3

y las raíces

1,2.

Su diferencia es

1,

una raíz es prima,

p^2-q=7,

y

p+q=5;

por tanto, las cuatro afirmaciones se cumplen.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The positive integer roots have product

q,

so they are

1

and

q.

Their sum is

p=q+1,

which is prime only when

q=2,

giving

p=3

and roots

1,2.

Their difference is

1,

one root is prime,

p^2-q=7,

and

p+q=5;

therefore all four statements hold.

Therefore, the correct answer is E.

1975 AMC 12 Problema 22

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1830

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años