1976 AMC 12 Problema 6

Question

Si

c

es un número real y el negativo de una de las soluciones de

x^2-3x+c=0

es una solución de

x^2+3x-c=0,

entonces las soluciones de

x^2-3x+c=0

son

If

c

is a real number and the negative of one of the solutions of

x^2-3x+c=0

is a solution of

x^2+3x-c=0,

then the solutions of

x^2-3x+c=0

are

1,

2

-1,

-2

0,

3

0,

-3

\frac32,

\frac32

Llama

r

a la primera raíz y sustituye

-r

en la segunda ecuación

Call the first root

r

and substitute

-r

into the second equation

Las dos ecuaciones resultantes solo difieren en el signo de

c

The two resulting equations differ only in the sign of

c

Para una raíz

r

de este tipo,

\begin{aligned} r^2-3r+c&=0,\\ (-r)^2+3(-r)-c&=0. \end{aligned}

Al restar, se obtiene

2c=0.

Por tanto, la primera ecuación es

x(x-3)=0,

con raíces

0

y

3.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For such a root

r,

\begin{aligned} r^2-3r+c&=0,\\ (-r)^2+3(-r)-c&=0. \end{aligned}

Subtracting gives

2c=0.

Thus the first equation is

x(x-3)=0,

with roots

0

and

3.

Therefore, the correct answer is C.

El Problema 6 en otros años