1978 AMC 12 Problema 26

Question

En

\triangle ABC,

AB=10,

AC=8,

y

BC=6.

El círculo

P

es el círculo de menor radio que pasa por

C

y es tangente a

AB.

Sean

Q

y

R

los puntos de intersección distintos de

C,

del círculo

P

con los lados

AC

y

BC,

respectivamente. La longitud del segmento

QR

es

In

\triangle ABC,

AB=10,

AC=8,

and

BC=6.

Circle

P

is the circle with smallest radius which passes through

C

and is tangent to

AB.

Let

Q

and

R

be the points of intersection, distinct from

C,

of circle

P

with sides

AC

and

BC,

respectively. The length of segment

QR

is

4.75

4.8

5

4\sqrt2

3\sqrt3

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo circunferencias tangentes altura ángulo inscrito

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

El triángulo

6

-

8

-

10

es rectángulo en

C

; sea

H

el pie de la perpendicular desde

C

hasta

AB

The

6

-

8

-

10

triangle is right at

C

; let

H

be the foot from

C

to

AB

Pista grande:

El círculo más pequeño tiene

CH

como diámetro, y

\angle QCR=90^\circ

The smallest circle has

CH

as a diameter, and

\angle QCR=90^\circ

Solución:

Sea

H

el pie de la altura desde

C

hasta

AB.

Entre los círculos que pasan por

C

y son tangentes a

AB,

el menor radio se obtiene cuando el punto de tangencia es

H,

por lo que

CH

es un diámetro. El área del triángulo rectángulo da

CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8.

Además,

\angle QCR=90^\circ,

así que

QR

es un diámetro del círculo

P.

Por lo tanto,

QR=CH=4.8.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

H

be the foot of the altitude from

C

to

AB.

Among circles through

C

tangent to

AB,

the least radius occurs when the tangency point is

H,

so

CH

is a diameter. The area of the right triangle gives

CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{8\cdot6}{10}=4.8.

Also

\angle QCR=90^\circ,

so

QR

is a diameter of circle

P.

Therefore

QR=CH=4.8.

Therefore, the correct answer is B.