1979 AMC 12 Problema 17

Question

Los puntos

A,

B,

C,

y

D

son distintos y están, en ese orden, sobre una recta. Los segmentos

AB,

AC,

y

AD

tienen longitudes

x,

y,

y

z,

respectivamente. Si los segmentos

AB

y

CD

pueden girarse alrededor de los puntos

B

y

C,

respectivamente, de modo que los puntos

A

y

D

coincidan para formar un triángulo de área positiva, ¿cuáles de las siguientes tres desigualdades deben satisfacerse?

\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}

Points

A,

B,

C,

and

D

are distinct and lie, in the given order, on a straight line. Line segments

AB,

AC,

and

AD

have lengths

x,

y,

and

z,

respectively. If line segments

AB

and

CD

may be rotated about points

B

and

C,

respectively, so that points

A

and

D

coincide, to form a triangle with positive area, then which of the following three inequalities must be satisfied?

\begin{aligned} &\text{I. }x\lt\frac z2\\ &\text{II. }y\lt x+\frac z2\\ &\text{III. }y\lt\frac z2 \end{aligned}

solo

\mathrm{I}

\mathrm{I}

only

solo

\mathrm{II}

\mathrm{II}

only

solo

\mathrm{I}

y

\mathrm{II}

\mathrm{I}

and

\mathrm{II}

only

solo

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

only

\mathrm{I},

\mathrm{II}

y

\mathrm{III}

\mathrm{I},

\mathrm{II}

and

\mathrm{III}

Respuesta: C

Conceptos:desigualdad triangular análisis por casos deducción lógica

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Después de los giros, identifica las longitudes de los tres lados del nuevo triángulo

After the rotations, identify the three side lengths of the new triangle

Pista grande:

Aplica las tres desigualdades estrictas del triángulo a

x,

y-x,

y

z-y

Apply all three strict triangle inequalities to

x,

y-x,

and

z-y

Solución:

El nuevo triángulo tiene lados de longitudes

x,

y-x,

y

z-y.

Sus desigualdades del triángulo dan

\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}

Por tanto, I y II deben cumplirse, mientras que III debe fallar.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The new triangle has side lengths

x,

y-x,

and

z-y.

Its triangle inequalities give

\begin{aligned} x&\lt(y-x)+(z-y),\\ &\Longrightarrow x\lt \frac{z}{2};\\ y-x&\lt x+(z-y),\\ &\Longrightarrow y\lt x+\frac{z}{2};\\ z-y&\lt x+(y-x),\\ &\Longrightarrow y\gt \frac{z}{2}. \end{aligned}

Thus I and II must hold, while III must fail.

Therefore, the correct answer is C.

1979 AMC 12 Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años