1979 AMC 12 Problema 29

Question

Para cada número positivo

x,

sea

f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.

El valor mínimo de

f(x)

es

For each positive number

x,

let

f(x)= \frac{\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^6\\ {}-\left(x^6+\frac1{x^6}\right)-2 \end{gathered}} {\begin{gathered} \left(x+\frac1x\right)^3\\ {}+\left(x^3+\frac1{x^3}\right) \end{gathered}}.

The minimum value of

f(x)

is

1

2

3

4

6

Respuesta: E

Conceptos:manipulación algebraica diferencia de cuadrados Desigualdad MA-MG

Nivel de dificultad: 2100

Pista pequeña:

Sea

t=x+\frac{1}{x}

y escribe

x^3+x^{-3}

en términos de

t

Set

t=x+\frac{1}{x}

and write

x^3+x^{-3}

in terms of

t

Pista grande:

Factoriza el numerador como una diferencia de cuadrados y luego usa

x+\frac{1}{x}\ge2

Factor the numerator as a difference of squares, then use

x+\frac{1}{x}\ge2

Solución:

Sean

t=x+\frac{1}{x}

y

u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.

Como

x^6+x^{-6}=u^2-2,

el numerador es

\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}

El denominador es

t^3+u,

así que

f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).

Para

x\gt0,

se tiene

x+\frac{1}{x}\ge2,

con igualdad en

x=1.

Por tanto, el mínimo es

6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let

t=x+\frac{1}{x}

and

u=x^3+x^{-3}=t^3-3t.

Since

x^6+x^{-6}=u^2-2,

the numerator is

\begin{aligned} t^6-u^2&=(t^3-u)(t^3+u)\\ &=3t(t^3+u). \end{aligned}

The denominator is

t^3+u,

so

f(x)=3t=3(x+\frac{1}{x}).

For

x\gt0,

x+\frac{1}{x}\ge2,

with equality at

x=1.

Thus the minimum is

6.

Therefore, the correct answer is E.