1980 AMC 12 Problema 29

Question

¿Cuántas ternas ordenadas

(x,y,z)

de enteros satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones?

\begin{aligned} x^2-3xy+2y^2-z^2&=31,\\ -x^2+6yz+2z^2&=44,\\ x^2+xy+8z^2&=100. \end{aligned}

How many ordered triples

(x,y,z)

of integers satisfy the system of equations below?

\begin{aligned} x^2-3xy+2y^2-z^2&=31,\\ -x^2+6yz+2z^2&=44,\\ x^2+xy+8z^2&=100. \end{aligned}

0

1

2

un número finito mayor que dos

a finite number greater than two

infinitas

infinitely many

Suma las tres ecuaciones antes de intentar resolver las variables

Add all three equations before trying to solve for the variables

Reescribe la forma cuadrática resultante como una suma de dos cuadrados y reduce módulo

4

Rewrite the resulting quadratic form as a sum of two squares and reduce modulo

4

Al sumar las tres ecuaciones se obtiene

\begin{aligned} x^2-2xy+2y^2 &{}+6yz+9z^2\\ &=175, \end{aligned}

o bien

(x-y)^2+(y+3z)^2=175.

Un cuadrado es congruente con

0

o

1\pmod4,

así que una suma de dos cuadrados no puede ser congruente con

3\pmod4.

Pero

175\equiv3\pmod4,

una contradicción. Por lo tanto, no hay ternas enteras.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Adding the three equations gives

\begin{aligned} x^2-2xy+2y^2 &{}+6yz+9z^2\\ &=175, \end{aligned}

or

(x-y)^2+(y+3z)^2=175.

A square is congruent to

0

or

1\pmod4,

so a sum of two squares cannot be congruent to

3\pmod4.

But

175\equiv3\pmod4,

a contradiction. Thus there are no integer triples.

Therefore, the correct answer is A.

El Problema 29 en otros años