1980 AMC 12 Problema 30

Question

Un número de seis cifras (en base

10

) es cuadradizo si satisface las siguientes condiciones:

(i) ninguna de sus cifras es cero;

(ii) es un cuadrado perfecto; y

(iii) las dos primeras cifras, las dos cifras centrales y las dos últimas cifras del número son cuadrados perfectos al considerarlas como números de dos cifras.

¿Cuántos números cuadradizos hay?

A six digit number (base

10

) is squarish if it satisfies the following conditions:

(i) none of its digits is zero;

(ii) it is a perfect square; and

(iii) the first two digits, the middle two digits and the last two digits of the number are all perfect squares when considered as two digit numbers.

How many squarish numbers are there?

0

2

3

8

9

Respuesta: B

Conceptos:dígitos cuadrado perfecto enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 2160

Pista pequeña:

Enumera los cuadrados perfectos de dos cifras que no contienen ningún cero

List the two-digit perfect squares having no zero digit

Pista grande:

Usa el primer par para restringir la raíz cuadrada a un intervalo corto y luego filtra por el último par

Use the first pair to restrict the square root to a short interval, then filter by the final pair

Solución:

Cada bloque de dos cifras debe pertenecer a

\{16,25,36,49,64,81\}.

Al restringir la raíz cuadrada mediante el primer bloque y conservar solo los cuadrados cuyo bloque final está permitido, quedan los siguientes bloques centrales posibles:

primer bloque	posibles bloques centrales
$16$	$32,$ $40,$ $48,$ $56,$ $64,$ $72$
$25$	$40,$ $50,$ $60,$ $70,$ $80,$ $90$
$36$	$48,$ $60,$ $72,$ $84,$ $96$
$49$	$56,$ $70,$ $84,$ $98$
$64$	$64,$ $80,$ $96$
$81$	$72,$ $90$

Solo está permitido el bloque central

64,

lo cual produce

\begin{aligned} 166464&=408^2,\\ 646416&=804^2. \end{aligned}

Por lo tanto, hay

2

números cuadradizos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Each two-digit block must belong to

\{16,25,36,49,64,81\}.

Restricting the square root by the first block and retaining only squares with an allowed final block leaves the following possible middle blocks:

first block	possible middle blocks
$16$	$32,$ $40,$ $48,$ $56,$ $64,$ $72$
$25$	$40,$ $50,$ $60,$ $70,$ $80,$ $90$
$36$	$48,$ $60,$ $72,$ $84,$ $96$
$49$	$56,$ $70,$ $84,$ $98$
$64$	$64,$ $80,$ $96$
$81$	$72,$ $90$

Only the middle block

64

is allowed, producing

\begin{aligned} 166464&=408^2,\\ 646416&=804^2. \end{aligned}

Thus there are

2

squarish numbers.

Therefore, the correct answer is B.