1981 AMC 12 Problema 19

Question

En

\triangle ABC,

M

es el punto medio del lado

BC,

AN

biseca

\angle BAC,

BN\perp AN,

y

\theta

es la medida de

\angle BAC.

Si los lados

AB

y

AC

tienen longitudes

14

y

19,

respectivamente, entonces la longitud

MN

es igual a

In

\triangle ABC,

M

is the midpoint of side

BC,

AN

bisects

\angle BAC,

BN\perp AN,

and

\theta

is the measure of

\angle BAC.

If sides

AB

and

AC

have lengths

14

and

19,

respectively, then length

MN

equals

2

\frac52

\frac52-\sin\theta

\frac52-\frac12\sin\theta

\frac52-\frac12\sin\left(\frac\theta2\right)

Respuesta: B

Conceptos:bisectriz reflexión (geometría)punto medio

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Prolonga

BN

a través de

N

hasta que corte

AC

Extend

BN

through

N

to meet

AC

Pista grande:

Usa la congruencia a ambos lados de la bisectriz y luego aplica el teorema del segmento medio

Use congruence across the angle bisector, then apply the midpoint theorem

Solución:

Prolonga

BN

hasta que corte

AC

en

E.

Los triángulos rectángulos

ABN

y

AEN

son congruentes porque comparten

AN

y esta recta biseca el ángulo en

A.

Por consiguiente,

BE

queda bisecado por

N

y

AE=AB=14.

Como

AC=19,

se tiene

EC=5.

En el triángulo

BEC,

los puntos

N

y

M

son los puntos medios de

BE

y

BC,

por lo que

MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Extend

BN

to meet

AC

at

E.

The right triangles

ABN

and

AEN

are congruent because

AN

is common and bisects the angle at

A.

Hence

BE

is bisected by

N

and

AE=AB=14.

Since

AC=19,

EC=5.

In triangle

BEC,

points

N

and

M

are the midpoints of

BE

and

BC,

so

MN=\frac{EC}{2}=\frac{5}{2}.

Therefore, the correct answer is B.