1982 AMC 12 Problema 28

Question

Se escribe en una pizarra un conjunto de enteros positivos consecutivos que comienza con

1.

Se borra uno de los números. El promedio, o media aritmética, de los números restantes es

35\frac7{17}.

¿Qué número se borró?

A set of consecutive positive integers beginning with

1

is written on a blackboard. One number is erased. The average (arithmetic mean) of the remaining numbers is

35\frac7{17}.

What number was erased?

6

7

8

9

no se puede determinar

can not be determined

Respuesta: B

Conceptos:media sucesión aritmética divisibilidad

Nivel de dificultad: 2040

Pista pequeña:

Si el último número escrito es

n,

quedan

n-1

números

If the last written number is

n,

the remaining count is

n-1

Pista grande:

Usa las cotas

1\le e\le n

para el valor borrado a fin de reducir los posibles valores de

n

Use the bounds

1\le e\le n

on the erased value to narrow the possible values of

n

Solución:

El nuevo promedio

\frac{602}{17}

es menor que el promedio original

\frac{n+1}{2}

, pero difiere de él en menos de

\frac{n}{n-1},

lo que obliga a que

n=69

o

70.

Como la suma restante

(n-1)(\frac{602}{17})

debe ser entera,

n-1

es divisible por

17,

así que

n=69.

El número borrado es

\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The new average

\frac{602}{17}

is below the original average

\frac{n+1}{2}

but differs from it by less than

\frac{n}{n-1},

forcing

n=69

or

70.

Since the remaining sum

(n-1)(\frac{602}{17})

must be integral,

n-1

is divisible by

17,

so

n=69.

The erased number is

\begin{aligned} 2415-68\cdot\frac{602}{17} &=2415-2408\\ &=7. \end{aligned}

Therefore, the correct answer is B.