1983 AMC 12 Problema 20

Question

Si

\tan\alpha

y

\tan\beta

son las raíces de

x^2-px+q=0,

y

\cot\alpha

y

\cot\beta

son las raíces de

x^2-rx+s=0,

entonces

rs

es necesariamente

If

\tan\alpha

and

\tan\beta

are the roots of

x^2-px+q=0,

and

\cot\alpha

and

\cot\beta

are the roots of

x^2-rx+s=0,

then

rs

is necessarily

pq

\frac1{pq}

\frac{p}{q^2}

\frac{q}{p^2}

\frac pq

Respuesta: C

Conceptos:Fórmulas de Vieta ecuación racional

Nivel de dificultad: 1850

Pista pequeña:

Las raíces de la segunda cuadrática son los recíprocos de las raíces de la primera

The roots of the second quadratic are reciprocals of the roots of the first

Pista grande:

Usa las fórmulas de Vieta para expresar su suma y producto en función de

p,q

Use Vieta’s formulas to express their sum and product in terms of

p,q

Solución:

Sean las primeras raíces

u=\tan\alpha

y

v=\tan\beta.

Entonces

u+v=p

y

uv=q.

Las segundas raíces son

\frac{1}{u}

y

\frac{1}{v},

por lo que

\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q. \end{aligned}

Por tanto,

rs=\frac{p}{q^2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the first roots be

u=\tan\alpha

and

v=\tan\beta.

Then

u+v=p

and

uv=q.

The second roots are

\frac{1}{u}

and

\frac{1}{v},

so

\begin{aligned} r&=\frac1u+\frac1v=\frac pq,\\ s&=\frac1{uv}=\frac1q. \end{aligned}

Therefore

rs=\frac{p}{q^2}.

Therefore, the correct answer is C.