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1983 AMC 12 Problema 28

Intenta el Problema 28 del 1983 AMC 12 a continuación y luego compara tu respuesta con la solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 1983 AMC 12, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

28.

El triángulo

ABC

de la figura tiene área

10.

Los puntos

D,

E

y

F,

todos distintos de

A,

B

y

C,

están en los lados

AB,

BC

y

CA

, respectivamente, y

AD=2,

DB=3.

Si el triángulo

ABE

y el cuadrilátero

DBEF

tienen áreas iguales, entonces esa área es

Triangle

ABC

in the figure has area

10.

Points

D,

E

and

F,

all distinct from

A,

B

and

C,

are on sides

AB,

BC

and

CA

respectively, and

AD=2,

DB=3.

If triangle

ABE

and quadrilateral

DBEF

have equal areas, then that area is

4

5

6

\frac53\sqrt{10}

no está determinada de manera única

not uniquely determined

Respuesta: C

Conceptos:área del triángulo descomposición de áreas semejanza

Nivel de dificultad: 2340

Pista pequeña:

Traza

DE

y cancela el triángulo común

DBE

de las áreas iguales

Draw

DE

and cancel the common triangle

DBE

from the equal areas

Pista grande:

Las áreas iguales de

ADE

y

FDE

implican

AF\parallel DE

; luego compara los triángulos

DBE

y

ABC

Equal areas of

ADE

and

FDE

imply

AF\parallel DE

; then compare triangles

DBE

and

ABC

Solución:

Traza

DE.

De

\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}

la igualdad implica

[ADE]=[FDE].

Su base común

DE

da entonces

AF\parallel DE,

por lo que los triángulos

DBE

y

ABC

son semejantes. Así,

\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.

Los triángulos

ABE

y

ABC

comparten la altura desde

A

hasta

BC,

de modo que

[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Draw

DE.

From

\begin{aligned} [ABE]&=[ADE]+[DBE],\\ [DBEF]&=[FDE]+[DBE], \end{aligned}

equality implies

[ADE]=[FDE].

Their common base

DE

then gives

AF\parallel DE,

so triangles

DBE

and

ABC

are similar. Hence

\frac{BE}{BC}=\frac{DB}{AB}=\frac{3}{5}.

Triangles

ABE

and

ABC

share the altitude from

A

to

BC,

so

[ABE]=(\frac{3}{5})[ABC]=6.

Therefore, the correct answer is C.