1991 AMC 12 Problema 28

Question

Inicialmente, una urna contiene

100

canicas negras y

100

canicas blancas. Repetidamente se sacan tres canicas de la urna y se reemplazan con canicas de una reserva exterior como sigue:

Canicas retiradas	Se reemplazan por
$3$ negras	$1$ negra
$2$ negras, $1$ blanca	$1$ negra, $1$ blanca
$1$ negra, $2$ blancas	$2$ blancas
$3$ blancas	$1$ negra, $1$ blanca

¿Cuál de los siguientes conjuntos de canicas podría ser el contenido de la urna después de aplicar repetidamente este procedimiento?

Initially an urn contains

100

black marbles and

100

white marbles. Repeatedly, three marbles are removed from the urn and replaced from a pile outside the urn as follows:

Marbles removed	Replaced with
$3$ black	$1$ black
$2$ black, $1$ white	$1$ black, $1$ white
$1$ black, $2$ white	$2$ white
$3$ white	$1$ black, $1$ white

Which of the following sets of marbles could be the contents of the urn after repeated applications of this procedure?

2

canicas negras

2

black marbles

2

canicas blancas

2

white marbles

1

canica negra

1

black marble

1

canica negra y

1

canica blanca

1

black and

1

white marble

1

canica blanca

1

white marble

Respuesta: B

Conceptos:invariante constructive process paridad

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

El número de canicas blancas siempre cambia en

0

o

2

The number of white marbles always changes by

0

or

2

Pista grande:

Cuando una operación deje por primera vez a lo sumo dos canicas, examina los posibles resultados de esa última operación

When an operation first leaves at most two marbles, inspect the possible outputs of that final operation

Solución:

La paridad del número de canicas blancas nunca cambia, así que las opciones con una canica blanca son imposibles. Además, una operación final que comienza con tres canicas puede dejar

1

negra,

1

negra y

1

blanca, o

2

blancas, pero nunca

2

negras. El estado con

2

blancas es alcanzable: reemplaza repetidamente

3

negras por

1

negra hasta que queden

2

negras; usa dos veces la regla de

1

negra y

2

blancas, con lo que quedan

100

blancas; luego alterna la regla de

3

blancas con la de

1

negra y

2

blancas, reduciendo el número de blancas en

2

por cada par de operaciones hasta que queden

2

.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The parity of the number of white marbles never changes, so choices with one white marble are impossible. Also a final operation starting with three marbles can leave

1

black,

1

black and

1

white, or

2

white, but never

2

black. The state with

2

white is attainable: repeatedly replace

3

black by

1

black until

2

black remain; twice use the

1

-black-

2

-white rule, leaving

100

white; then alternate the

3

-white rule with the

1

-black-

2

-white rule, reducing the number of white marbles by

2

per pair until

2

remain.

Thus the correct answer is B.

1991 AMC 12 Problema 28

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 2330

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 28 en otros años