1965 AMC 12 Problema 28

Question

Una escalera mecánica con

n

peldaños uniformes visibles en todo momento desciende a velocidad constante. Dos chicos,

A

y

Z,

bajan de manera constante mientras la escalera se mueve;

A

recorre el doble de peldaños por minuto que

Z.

A

llega al final después de dar

27

pasos, mientras que

Z

llega después de dar

18

pasos. Entonces

n

es:

An escalator (moving staircase) of

n

uniform steps visible at all times descends at constant speed. Two boys,

A

and

Z,

walk down the escalator steadily as it moves,

A

negotiating twice as many escalator steps per minute as

Z.

A

reaches the bottom after taking

27

steps while

Z

reaches the bottom after taking

18

steps. Then

n

is:

63

54

45

36

30

Respuesta: B

Conceptos:velocidad relativa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1880

Pista pequeña:

Sea

v

la cadencia de pasos de

Z

y

e

la velocidad de la escalera

Let

Z

’s stepping rate be

v

and the escalator rate be

e

Pista grande:

Iguala

27+\frac{27e}{2v}

y

18+\frac{18e}{v}

Equate

27+\frac{27e}{2v}

and

18+\frac{18e}{v}

Solución:

Sea

v

el número de pasos por minuto que da

Z

, de modo que

A

da

2v,

y sea

e

el número de peldaños por minuto que aporta la escalera. Sus tiempos de recorrido son

\frac{27}{2v}

y

\frac{18}{v}.

Así,

n=27+\frac{27e}{2v} =18+\frac{18e}{v}.

Esto da

\frac{e}{v}=2,

y luego

n=18+18(2)=54.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let

Z

take

v

steps per minute, so

A

takes

2v,

and let the escalator contribute

e

steps per minute. Their travel times are

\frac{27}{2v}

and

\frac{18}{v}.

Thus

n=27+\frac{27e}{2v} =18+\frac{18e}{v}.

This gives

\frac{e}{v}=2,

and then

n=18+18(2)=54.

Therefore, the correct answer is B.