1995 AMC 12 Problema 28

Question

Dos cuerdas paralelas de una circunferencia miden

10

y

14,

y la distancia entre ellas es

6.

La cuerda paralela a ambas y situada a mitad de camino entre ellas mide

\sqrt a,

donde

a

es

Two parallel chords in a circle have lengths

10

and

14,

and the distance between them is

6.

The chord parallel to these chords and midway between them is of length

\sqrt a,

where

a

is

144

156

168

176

184

Respuesta: E

Conceptos:circle chords geometría analítica

Nivel de dificultad: 2290

Pista pequeña:

Si una cuerda está a distancia dirigida

y

del centro, su semilongitud satisface

h^2+y^2=r^2

If a chord is at signed distance

y

from the center, its half-length satisfies

h^2+y^2=r^2

Pista grande:

Haz que las distancias dirigidas de las cuerdas de

14

y

10

difieran en

6

, y resta sus ecuaciones

Let the signed distances of the

14

- and

10

-chords differ by

6

, and subtract their equations

Solución:

Sean las distancias dirigidas desde el centro hasta las cuerdas de

14

y

10,

respectivamente,

u

y

v,

con

u-v=6.

Entonces

r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.

De aquí,

v^2-u^2=24,

de modo que

(v-u)(v+u)=24.

Como

v-u=-6,

obtenemos

u+v=-4,

y por tanto

u=1

y

v=-5.

La cuerda intermedia está a distancia dirigida

-2,

mientras que

r^2=49+1=50.

El cuadrado de su longitud es

4(50-4)=184,

así que

a=184.

La respuesta correcta es E.

Let the signed distances from the center to the

14

- and

10

-chords be

u

and

v,

with

u-v=6.

Then

r^2-u^2=7^2,\qquad r^2-v^2=5^2.

Hence

v^2-u^2=24,

so

(v-u)(v+u)=24.

Since

v-u=-6,

we get

u+v=-4,

and therefore

u=1

and

v=-5.

The midway chord is at signed distance

-2,

while

r^2=49+1=50.

Its squared length is

4(50-4)=184,

so

a=184.

Thus the correct answer is E.