1984 AMC 12 Problema 22

Question

Sean

a

y

c

números positivos fijos. Para cada número real

t

, sea

(x_t,y_t)

el vértice de la parábola

y=ax^2+tx+c.

Si el conjunto de vértices

(x_t,y_t)

para todos los valores reales de

t

se representa en el plano, la gráfica es

Let

a

and

c

be fixed positive numbers. For each real number

t

let

(x_t,y_t)

be the vertex of the parabola

y=ax^2+tx+c.

If the set of vertices

(x_t,y_t)

for all real values of

t

is graphed in the plane, the graph is

una recta

a straight line

una parábola

a parabola

una parte de una parábola, pero no toda

part, but not all, of a parabola

una rama de una hipérbola

one branch of a hyperbola

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: B

Conceptos:parábola completar el cuadrado geometría analítica

Nivel de dificultad: 1960

Pista pequeña:

Escribe las coordenadas del vértice en función de

t

Write the vertex coordinates in terms of

t

Pista grande:

Usa

x_t=-\frac{t}{2a}

para eliminar

t

de

y_t

Use

x_t=-\frac{t}{2a}

to eliminate

t

from

y_t

Solución:

Las coordenadas del vértice son

x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.

Como

t=-2ax_t,

al eliminar

t

se obtiene

y_t=c-ax_t^2.

Cuando

t

recorre todos los números reales,

x_t

también lo hace, por lo que se traza la parábola completa.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The vertex coordinates are

x_t=-\frac{t}{2a},\qquad y_t=c-\frac{t^2}{4a}.

Since

t=-2ax_t,

eliminating

t

gives

y_t=c-ax_t^2.

As

t

ranges over all reals, so does

x_t,

so the entire parabola is traced.

Therefore, the correct answer is B.