1985 AMC 12 Problema 21

Question

¿Cuántos enteros

x

satisfacen la ecuación

(x^2-x-1)^{x+2}=1?

How many integers

x

satisfy the equation

(x^2-x-1)^{x+2}=1?

2

3

4

5

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: C

Conceptos:análisis por casos exponente cuadrática

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Una potencia entera puede ser

1

si la base es

1,

si la base es

-1

y el exponente es par, o si una base no nula tiene exponente

0

An integer power can equal

1

when the base is

1,

when the base is

-1

with even exponent, or when a nonzero base has exponent

0

Pista grande:

Resuelve los tres casos por separado y comprueba cada candidato

Solve those three cases separately and check every candidate

Solución:

Si la base es

1,

entonces

x^2-x-1=1,

lo que da

x=-1

y

x=2.

Si la base es

-1,

entonces

x(x-1)=0;

solo

x=0

hace que el exponente

x+2

sea par. Si el exponente es

0,

entonces

x=-2,

y su base es

5,

así que también funciona. Las cuatro soluciones son

-2,

-1,

0,

y

2.

La respuesta correcta es C.

If the base is

1,

then

x^2-x-1=1,

giving

x=-1

and

x=2.

If the base is

-1,

then

x(x-1)=0;

only

x=0

makes the exponent

x+2

even. If the exponent is

0,

then

x=-2,

and its base is

5,

so it also works. Thus the four solutions are

-2,

-1,

0,

and

2.

Therefore the correct answer is C.

1985 AMC 12 Problema 21

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 2070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 21 en otros años