1986 AMC 12 Problema 21

Question

En la configuración siguiente,

\theta

se mide en radianes,

C

es el centro del círculo,

BCD

y

ACE

son segmentos de recta, y

AB

es tangente al círculo en

A.

Una condición necesaria y suficiente para que las dos áreas sombreadas sean iguales, dado que

0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},

es

In the configuration below,

\theta

is measured in radians,

C

is the center of the circle,

BCD

and

ACE

are line segments, and

AB

is tangent to the circle at

A.

A necessary and sufficient condition for the equality of the two shaded areas, given

0\lt\theta\lt\frac{\pi}{2},

is

\tan\theta=\theta

\tan\theta=2\theta

\tan\theta=4\theta

\tan2\theta=\theta

\tan\frac{\theta}{2}=\theta

Respuesta: B

Conceptos:sector area tangent triángulo rectángulo equation

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Sea

r=AC

el radio del círculo y compara un sector con el triángulo

ABC

Let the circle’s radius be

r=AC

and compare a sector with triangle

ABC

Pista grande:

La igualdad de las dos regiones sombreadas significa que el triángulo completo tiene el doble del área del sector

Equality of the two shaded pieces means the whole triangle has twice the sector’s area

Solución:

Sea

r=AC.

El sector sombreado superior tiene área

\frac{\theta r^2}{2}.

La región sombreada inferior es el triángulo

ABC

menos un sector de la misma área. Por tanto, las dos regiones sombreadas son iguales exactamente cuando

2\left(\frac{\theta r^2}{2}\right) =\frac12r\cdot AB.

Esto equivale a

\frac{AB}{r}=2\theta.

Como

AB

es tangente en

A,

el triángulo

ABC

es rectángulo en

A,

y

\frac{AB}{r}=\tan\theta.

Por consiguiente, la condición es

\tan\theta=2\theta.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Let

r=AC.

The upper shaded sector has area

\frac{\theta r^2}{2}.

The lower shaded region is triangle

ABC

with an equal sector removed. Thus the two shaded regions are equal exactly when

2\left(\frac{\theta r^2}{2}\right) =\frac12r\cdot AB.

This is equivalent to

\frac{AB}{r}=2\theta.

Since

AB

is tangent at

A,

triangle

ABC

is right at

A,

and

\frac{AB}{r}=\tan\theta.

Therefore the condition is

\tan\theta=2\theta.

Thus the correct answer is B.