1987 AMC 12 Problema 25

Question

ABC

es un triángulo:

A=(0,0),

B=(36,15),

y las dos coordenadas de

C

son enteras. ¿Cuál es el área mínima que puede tener

\triangle ABC

?

ABC

is a triangle:

A=(0,0),

B=(36,15),

and both the coordinates of

C

are integers. What is the minimum area

\triangle ABC

can have?

\frac12

1

\frac32

\frac{13}{2}

no existe un mínimo

there is no minimum

Escribe

C=(u,v)

y usa la fórmula del determinante para el área de un triángulo

Write

C=(u,v)

and use the determinant formula for triangle area

Halla el menor valor positivo de

|36v-15u|

usando

\gcd(36,15)

Find the smallest positive value of

|36v-15u|

using

\gcd(36,15)

Para

C=(u,v),

el área es

\frac12|36v-15u|.

Como

\gcd(36,15)=3,

el menor valor positivo posible del determinante es al menos

3.

Este se alcanza, por ejemplo, con

u=7,\ v=3,

pues

36(3)-15(7)=3.

Por lo tanto, el área mínima es

\frac{3}{2}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

For

C=(u,v),

the area is

\frac12|36v-15u|.

Since

\gcd(36,15)=3,

the smallest possible positive value of the determinant is at least

3.

It is attained, for example, by

u=7,\ v=3,

since

36(3)-15(7)=3.

Therefore the minimum area is

\frac{3}{2}.

Thus the correct answer is C.

El Problema 25 en otros años