1988 AMC 12 Problema 29

Question

Representas el peso

(y)

en función de la estatura

(x)

de tres amigos y obtienes los puntos

(x_1,y_1),

(x_2,y_2),

(x_3,y_3).

Si

\begin{aligned} x_1&\lt x_2\lt x_3,\\ x_3-x_2&=x_2-x_1, \end{aligned}

¿cuál de las siguientes expresiones es necesariamente la pendiente de la recta que mejor se ajusta a los datos? «Mejor se ajusta» significa que la suma de los cuadrados de las distancias verticales de los puntos a la recta es menor que para cualquier otra recta.

You plot weight

(y)

against height

(x)

for three of your friends and obtain the points

(x_1,y_1),

(x_2,y_2),

(x_3,y_3).

If

\begin{aligned} x_1&\lt x_2\lt x_3,\\ x_3-x_2&=x_2-x_1, \end{aligned}

which of the following is necessarily the slope of the line which best fits the data? “Best fits” means that the sum of the squares of the vertical distances from the data points to the line is smaller than for any other line.

\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}

\frac{(y_2-y_1)-(y_3-y_2)}{x_3-x_1}

\frac{2y_3-y_1-y_2}{2x_3-x_1-x_2}

\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}+\frac{y_3-y_2}{x_3-x_2}

ninguna de las anteriores

none of these

Respuesta: A

Conceptos:least squares pendiente symmetric coordinates

Nivel de dificultad: 2480

Pista pequeña:

Traslada y escala las coordenadas

x

para obtener

-1,0,1

Translate and scale the

x

-coordinates to

-1,0,1

Pista grande:

Para una recta de mínimos cuadrados con valores de

x

simétricos, calcula la pendiente a partir del numerador de la covarianza

For a least-squares line through symmetric

x

-values, compute the slope from the covariance numerator

Solución:

Traslada y escala de modo que las coordenadas

x

sean

-d,0,d.

Su promedio es

0,

por lo que la pendiente de la recta de mínimos cuadrados es

\begin{aligned} \frac{(-d)y_1+0y_2+dy_3}{d^2+0+d^2} &=\frac{y_3-y_1}{2d}\\ &=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}. \end{aligned}

Por tanto, la respuesta correcta es A.

Translate and scale so the

x

-coordinates are

-d,0,d.

Their mean is

0,

so the least-squares slope is

\begin{aligned} \frac{(-d)y_1+0y_2+dy_3}{d^2+0+d^2} &=\frac{y_3-y_1}{2d}\\ &=\frac{y_3-y_1}{x_3-x_1}. \end{aligned}

Thus the correct answer is A.