1990 AMC 12 Problema 19

Question

¿Para cuántos enteros

N

entre

1

y

1990

la fracción impropia

\frac{N^2+7}{N+4}

no está en su mínima expresión?

For how many integers

N

between

1

and

1990

is the improper fraction

\frac{N^2+7}{N+4}

not in lowest terms?

0

86

90

104

105

Reduce

N^2+7

módulo

N+4

Reduce

N^2+7

modulo

N+4

El único factor primo común posible es un divisor de

23

The only possible common prime factor is a divisor of

23

Módulo

N+4,

tenemos

N\equiv-4,

de modo que

N^2+7\equiv16+7=23.

Por tanto, la fracción es reducible exactamente cuando

N+4

es divisible por

23,

o bien cuando

N\equiv19\pmod{23}.

Los valores son

19,42,\ldots,1974,

un total de

86.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Modulo

N+4,

we have

N\equiv-4,

so

N^2+7\equiv16+7=23.

Thus the fraction is reducible exactly when

N+4

is divisible by

23,

or

N\equiv19\pmod{23}.

The values are

19,42,\ldots,1974,

a total of

86.

Thus the correct answer is B.

El Problema 19 en otros años