1997 AMC 12 Problema 21

Question

Para todo entero positivo

n,

se define

f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q}. \end{cases}

¿Cuánto vale

\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)

?

For any positive integer

n,

let

f(n)= \begin{cases} \log_8n, & \log_8n\in\mathbb{Q},\\ 0, & \log_8n\notin\mathbb{Q}. \end{cases}

What is

\displaystyle\sum_{n=1}^{1997}f(n)?

\log_8 2047

6

\frac{55}{3}

\frac{58}{3}

585

Determina qué enteros pueden ser potencias racionales de

8=2^3

Determine which integers can be rational powers of

8=2^3

Enumera las potencias de

2

que no superan

1997

y suma sus logaritmos en base

8

List the powers of

2

not exceeding

1997

and sum their base-

8

logarithms

Para un entero

n,

\log_8n

es racional exactamente cuando

n

es una potencia de

2.

Los valores pertinentes son

n=2^k

para

0\le k\le10,

y

f(2^k)=\frac{k}{3}.

Por lo tanto, la suma es

\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3},

así que C es la respuesta correcta.

For integer

n,

\log_8n

is rational exactly when

n

is a power of

2.

The relevant values are

n=2^k

for

0\le k\le10,

and

f(2^k)=\frac{k}{3}.

Therefore the sum is

\frac{0+1+\cdots+10}{3}=\frac{55}{3},

so C is correct.

El Problema 21 en otros años