1998 AMC 12 Problema 25

Question

Una hoja de papel cuadriculado se dobla una vez de modo que

(0,2)

coincida con

(4,0),

y

(7,3)

coincida con

(m,n).

Halla

m+n.

A piece of graph paper is folded once so that

(0,2)

is matched with

(4,0),

and

(7,3)

is matched with

(m,n).

Find

m+n.

6.7

6.8

6.9

7.0

8.0

Respuesta: B

Conceptos:reflections geometría analítica

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

El pliegue es la mediatriz del segmento que une

(0,2)

y

(4,0)

The crease is the perpendicular bisector of the segment joining

(0,2)

and

(4,0)

Pista grande:

Halla la recta

y=2x-3

y luego refleja

(7,3)

respecto de ella

Find the line

y=2x-3

, then reflect

(7,3)

across it

Solución:

El pliegue pasa por

(2,1)

y tiene pendiente

2,

así que es

y=2x-3.

La perpendicular por

(7,3)

tiene pendiente

-\frac{1}{2}

y corta el pliegue en

(\frac{19}{5},\frac{23}{5}).

Este punto es el punto medio de

(7,3)

y

(m,n),

de donde

m=\frac{3}{5},\ n=\frac{31}{5}.

Por tanto,

m+n=\frac{34}{5}=6.8,

así que la respuesta correcta es B.

The crease passes through

(2,1)

with slope

2,

so it is

y=2x-3.

The perpendicular through

(7,3)

has slope

-\frac{1}{2}

and meets the crease at

(\frac{19}{5},\frac{23}{5}).

This intersection is the midpoint of

(7,3)

and

(m,n),

giving

m=\frac{3}{5},\ n=\frac{31}{5}.

Hence

m+n=\frac{34}{5}=6.8,

so B is correct.