1989 AMC 12 第 8 题

Question

有多少个整数

n

介于

1

与

100

之间，使

x^2+x-n

能分解为两个整系数一次因式的乘积？

For how many integers

n

between

1

and

100

does

x^2+x-n

factor into the product of two linear factors with integer coefficients?

0

1

2

9

10

答案：D

知识点：因式分解区间内整数计数二次方程

难度评级：1530

小提示：

将因式写成

(x-r)(x+s)

，其中

r,s

为正整数

Write the factors as

(x-r)(x+s)

with positive integers

r,s

大提示：

x

的系数迫使两个整数参数相差

1

The coefficient of

x

forces the two integer parameters to differ by

1

解答：

整系数分解必为

(x-k)(x+k+1)

，其中

k

为正整数。展开得

x^2+x-k(k+1)

，所以

n=k(k+1)

。

k=1,2,\ldots,9

时

n\le100

，而

10\cdot11\gt100

。因此共有

9

个值。

所以正确答案是 D。

An integer factorization must have the form

(x-k)(x+k+1)

for some positive integer

k.

Expanding gives

x^2+x-k(k+1),

so

n=k(k+1).

The values

k=1,2,\ldots,9

give

n\le100,

while

10\cdot11\gt100.

There are

9

values.

Thus the correct answer is D.

1989 AMC 12 第 8 题

答案：D

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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