1960 AMC 12 Problema 18

Question

El sistema de ecuaciones

3^{x+y}=81

y

81^{x-y}=3

tiene:

The pair of equations

3^{x+y}=81

and

81^{x-y}=3

has:

ninguna solución común

no common solution

la solución

x=2,

y=2

the solution

x=2,

y=2

la solución

x=2\dfrac12,

y=1\dfrac12

the solution

x=2\dfrac12,

y=1\dfrac12

una solución común formada por un entero positivo y uno negativo

a common solution in positive and negative integers

ninguna de estas

none of these

Respuesta: E

Conceptos:exponente sistema de ecuaciones sustitución

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe

81

como

3^4

en ambas ecuaciones

Rewrite

81

as

3^4

in both equations

Pista grande:

Resuelve el sistema resultante para

x+y

y

x-y

Solve the resulting system for

x+y

and

x-y

Solución:

La primera ecuación da

x+y=4.

La segunda da

3^{4(x-y)}=3,

así que

x-y=\frac{1}{4}.

Por lo tanto,

x=\frac{17}{8}

y

y=\frac{15}{8}.

Este par no aparece entre las primeras cuatro opciones.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first equation gives

x+y=4.

The second gives

3^{4(x-y)}=3,

so

x-y=\frac{1}{4}.

Therefore

x=\frac{17}{8}

and

y=\frac{15}{8}.

This pair is not listed among the first four choices.

Thus, the correct answer is E.