1984 AMC 12 Problema 18

Question

Se elige un punto

(x,y)

en el plano coordenado de modo que esté a la misma distancia del eje

x

, del eje

y

y de la recta

x+y=2.

Entonces

x

A point

(x,y)

is to be chosen in the coordinate plane so that it is equally distant from the

x

-axis, the

y

-axis, and the line

x+y=2.

Then

x

is

\sqrt2-1

\frac12

2-\sqrt2

1

no está determinado de manera única

not uniquely determined

Respuesta: E

Conceptos:fórmula de la distancia bisectriz contraejemplo

Nivel de dificultad: 2130

Pista pequeña:

La misma distancia a los dos ejes implica que

|x|=|y|

Equal distance from the two axes forces

|x|=|y|

Pista grande:

Examina las dos rectas

y=x

y

y=-x

Check both lines

y=x

and

y=-x

Solución:

La misma distancia a los ejes da

y=x

o

y=-x.

Sobre

y=-x,

la distancia a la recta

x+y=2

es

\sqrt2,

de modo que tanto

(\sqrt2,-\sqrt2)

como

(-\sqrt2,\sqrt2)

satisfacen las tres condiciones de distancia. Sus coordenadas

x

son distintas, así que

x

no está determinado de manera única.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Equal distance from the axes gives

y=x

or

y=-x.

On

y=-x,

the distance to the line

x+y=2

is

\sqrt2,

so both

(\sqrt2,-\sqrt2)

and

(-\sqrt2,\sqrt2)

satisfy all three distance conditions. Their

x

-coordinates differ, so

x

is not uniquely determined.

Therefore, the correct answer is E.