1957 AMC 12 Problema 18

Question

El círculo

O

tiene los diámetros

\overline{AB}

y

\overline{CD}

, perpendiculares entre sí.

\overline{AM}

es una cuerda cualquiera que corta a

\overline{CD}

en

P.

Entonces

AP\cdot AM

es igual a:

Circle

O

has diameters

\overline{AB}

and

\overline{CD}

perpendicular to each other.

\overline{AM}

is any chord intersecting

\overline{CD}

at

P.

Then

AP\cdot AM

is equal to:

AO\cdot OB

AO\cdot AB

CP\cdot CD

CP\cdot PD

CO\cdot OP

Respuesta: B

Conceptos:círculo cuerda semejanza

Nivel de dificultad: 1630

Pista pequeña:

Como

AB

es un diámetro, el ángulo

AMB

es recto

Because

AB

is a diameter, angle

AMB

is a right angle

Pista grande:

Compara los triángulos rectángulos

APO

y

ABM

Compare right triangles

APO

and

ABM

Solución:

Los ángulos

APO

y

ABM

son rectos, y los dos triángulos comparten el ángulo

A.

Por lo tanto, los triángulos

APO

y

ABM

son semejantes. Los lados correspondientes dan

\frac{AP}{AB}=\frac{AO}{AM}.

De aquí,

AP\cdot AM=AO\cdot AB.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Angles

APO

and

ABM

are both right angles, and the two triangles share angle

A.

Therefore triangles

APO

and

ABM

are similar. Corresponding sides give

\frac{AP}{AB}=\frac{AO}{AM}.

Hence

AP\cdot AM=AO\cdot AB.

Thus, the correct answer is B.