1956 AMC 12 Problema 21

Question

Si cada una de dos rectas que se cortan intersecta una hipérbola y ninguna es tangente a ella, entonces el número posible de puntos de intersección con la hipérbola es:

If each of two intersecting lines intersects a hyperbola and neither line is tangent to the hyperbola, then the possible number of points of intersection with the hyperbola is:

2

2

o

3

2

or

3

2

o

4

2

or

4

3

o

4

3

or

4

2,

3,

o

4

2,

3,

or

4

Respuesta: E

Conceptos:hipérbola line-conic intersections counting distinct points

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Una recta no tangente que intersecta una hipérbola puede cortarla en uno o dos puntos

A non-tangent line that intersects a hyperbola can meet it in either one or two points

Pista grande:

Las dos rectas pueden compartir un punto de la hipérbola, pues ellas mismas se cortan

The two lines may share one hyperbola point, since the lines themselves intersect

Solución:

Una recta puede cortar una hipérbola en un solo punto finito, cuando su dirección es paralela a una asíntota, o en dos puntos finitos. Si se eligen las dos rectas de modo que sus conjuntos de intersecciones finitas con la hipérbola sean disjuntos, pueden aportar

1+1=2,

1+2=3,

o

2+2=4

intersecciones distintas. Si el punto donde se cortan las dos rectas pertenece a la hipérbola, ese punto se cuenta una sola vez.

Por lo tanto, son posibles

2,

3,

o

4,

y la respuesta correcta es E.

A line can meet a hyperbola in either one finite point, when its direction is parallel to an asymptote, or two finite points. By choosing the two lines so that their finite intersection sets on the hyperbola are disjoint, they can therefore contribute

1+1=2,

1+2=3,

or

2+2=4

distinct intersections. If their own intersection lies on the hyperbola, one point is shared instead.

Thus,

2,

3,

or

4

are possible, and the correct answer is E.