1956 AMC 12 Problema 29

Question

Los puntos de intersección de

xy=12

y

x^2+y^2=25

se unen sucesivamente. La figura resultante es:

The points of intersection of

xy=12

and

x^2+y^2=25

are joined in succession. The resulting figure is:

una recta

a straight line

un triángulo equilátero

an equilateral triangle

un paralelogramo

a parallelogram

un rectángulo

a rectangle

un cuadrado

a square

Respuesta: D

Conceptos:systems of equations geometría analítica quadrilaterals

Nivel de dificultad: 1840

Pista pequeña:

Usa

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy

para hallar las posibles sumas

x+y

Use

(x+y)^2=x^2+y^2+2xy

to find the possible sums

x+y

Pista grande:

Los cuatro puntos de intersección son permutaciones y opuestos de

(3,4)

The four intersection points are permutations and negatives of

(3,4)

Solución:

En un punto de intersección,

\begin{aligned} (x+y)^2&=x^2+y^2+2xy\\ &=25+24=49, \end{aligned}

de modo que

x+y=\pm7.

Junto con

xy=12,

esto da los cuatro puntos

\begin{aligned} &(3,4),\ (4,3),\\ &(-3,-4),\ (-4,-3). \end{aligned}

En su orden cíclico alrededor del círculo, los vectores de lados adyacentes son perpendiculares, por lo que el cuadrilátero es un rectángulo. Sus lados adyacentes tienen longitudes desiguales, así que no es un cuadrado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

At an intersection,

\begin{aligned} (x+y)^2&=x^2+y^2+2xy\\ &=25+24=49, \end{aligned}

so

x+y=\pm7.

Together with

xy=12,

this gives the four points

\begin{aligned} &(3,4),\ (4,3),\\ &(-3,-4),\ (-4,-3). \end{aligned}

In their cyclic order around the circle, adjacent side vectors are perpendicular, so the quadrilateral is a rectangle. Its adjacent side lengths are unequal, so it is not a square.

Thus, the correct answer is D.