1957 AMC 12 Problema 21

Question

Partimos del teorema «Si dos ángulos de un triángulo son iguales, el triángulo es isósceles» y de las cuatro afirmaciones siguientes:

1.

Si dos ángulos de un triángulo no son iguales, el triángulo no es isósceles.

2.

Los ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales.

3.

Si un triángulo no es isósceles, entonces dos de sus ángulos no son iguales.

4.

Una condición necesaria para que dos ángulos de un triángulo sean iguales es que el triángulo sea isósceles.

¿Qué combinación contiene solo las afirmaciones lógicamente equivalentes al teorema dado?

Start with the theorem “If two angles of a triangle are equal, the triangle is isosceles,” and the following four statements:

1.

If two angles of a triangle are not equal, the triangle is not isosceles.

2.

The base angles of an isosceles triangle are equal.

3.

If a triangle is not isosceles, then two of its angles are not equal.

4.

A necessary condition that two angles of a triangle be equal is that the triangle be isosceles.

Which combination of statements contains only those which are logically equivalent to the given theorem?

1,

2,

3,

4

1,

2,

3

2,

3,

4

1,

2

3,

4

Respuesta: E

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 1590

Pista pequeña:

Escribe el teorema como

P\Rightarrow Q

y compara cada afirmación con su inversa, recíproca o contrapositiva

Write the theorem as

P\Rightarrow Q

and compare each statement with its inverse, converse, or contrapositive

Pista grande:

Una afirmación siempre equivale a su contrapositiva, pero en general no a su recíproca ni a su inversa

A statement is always equivalent to its contrapositive, but not generally to its converse or inverse

Solución:

Sea

P

la afirmación de que dos ángulos son iguales y

Q

la de que el triángulo es isósceles. La afirmación

3

es la contrapositiva

\neg Q\Rightarrow\neg P,

por lo que equivale a

P\Rightarrow Q.

La afirmación

4

dice que

Q

es necesaria para

P,

que es otra manera de expresar

P\Rightarrow Q.

Las afirmaciones

1

y

2

son la inversa y la recíproca.

Así, solo las afirmaciones

3

y

4

son equivalentes, por lo que la respuesta correcta es E.

Let

P

mean that two angles are equal and

Q

that the triangle is isosceles. Statement

3

is the contrapositive

\neg Q\Rightarrow\neg P,

so it is equivalent to

P\Rightarrow Q.

Statement

4

says that

Q

is necessary for

P,

which is another wording of

P\Rightarrow Q.

Statements

1

and

2

are the inverse and converse.

Thus only statements

3

and

4

are equivalent, so the correct answer is E.