1958 AMC 12 Problema 19

Question

Los catetos de un triángulo rectángulo son

a

y

b

y la hipotenusa es

c.

Una perpendicular trazada desde el vértice divide

c

en segmentos

r

y

s,

adyacentes respectivamente a

a

y

b.

Si

a:b=1:3,

la razón de

r

a

s

es:

The sides of a right triangle are

a

and

b

and the hypotenuse is

c.

A perpendicular from the vertex divides

c

into segments

r

and

s,

adjacent respectively to

a

and

b.

If

a:b=1:3,

then the ratio of

r

to

s

is:

1:3

1:9

1:10

3:10

1:\sqrt{10}

Respuesta: B

Conceptos:triángulo rectángulo semejanza altura

Nivel de dificultad: 1360

Pista pequeña:

Usa las relaciones de proyección

a^2=cr

y

b^2=cs

Use the projection relations

a^2=cr

and

b^2=cs

Pista grande:

Divide las dos ecuaciones de proyección para expresar

\frac{r}{s}

en función de

\frac{a}{b}

Divide the two projection equations to express

\frac{r}{s}

in terms of

\frac{a}{b}

Solución:

La semejanza producida por la altura a la hipotenusa da

a^2=cr,\qquad b^2=cs.

Por lo tanto,

\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Similarity from the altitude-to-hypotenuse construction gives

a^2=cr,\qquad b^2=cs.

Therefore

\frac rs=\frac{a^2}{b^2} =\left(\frac13\right)^2=\frac19.

Thus, the correct answer is B.