1959 AMC 12 Problema 28

Question

En el triángulo

ABC,

\overline{AL}

biseca el ángulo

A

y

\overline{CM}

biseca el ángulo

C.

Los puntos

L

y

M

están sobre

\overline{BC}

y

\overline{AB},

respectivamente. Los lados del triángulo

ABC

son

a,

b,

y

c.

Entonces

\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},

donde

k

es:

In triangle

ABC,

\overline{AL}

bisects angle

A

and

\overline{CM}

bisects angle

C.

Points

L

and

M

are on

\overline{BC}

and

\overline{AB},

respectively. The sides of triangle

ABC

are

a,

b,

and

c.

Then

\dfrac{AM}{MB}=k\dfrac{CL}{LB},

where

k

is:

1

\dfrac{bc}{a^2}

\dfrac{a^2}{bc}

\dfrac cb

\dfrac ca

Respuesta: E

Conceptos:teorema de la bisectriz razón y proporción

Nivel de dificultad: 1300

Pista pequeña:

Aplica el teorema de la bisectriz por separado a

CM

y

AL

Apply the angle bisector theorem separately to

CM

and

AL

Pista grande:

Usa la notación estándar

a=BC,\ b=CA,\ c=AB

Use the standard notation

a=BC,\ b=CA,\ c=AB

Solución:

Por el teorema de la bisectriz,

\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}

Por lo tanto,

k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

By the angle bisector theorem,

\begin{aligned} \frac{AM}{MB}&=\frac{AC}{CB}=\frac ba,\\ \frac{CL}{LB}&=\frac{AC}{AB}=\frac bc. \end{aligned}

Therefore

k=\frac{\frac{b}{a}}{\frac{b}{c}}=\frac ca.

Thus, the correct answer is E.