1960 AMC 12 Problema 19

Question

Considera la ecuación I:

x+y+z=46,

donde

x,

y,

y

z

son enteros positivos, y la ecuación II:

x+y+z+w=46,

donde

x,

y,

z,

y

w

son enteros positivos. Entonces:

Consider equation I:

x+y+z=46,

where

x,

y,

and

z

are positive integers, and equation II:

x+y+z+w=46,

where

x,

y,

z,

and

w

are positive integers. Then:

\mathrm{I}

puede resolverse con enteros consecutivos

\mathrm{I}

can be solved in consecutive integers

\mathrm{I}

puede resolverse con enteros pares consecutivos

\mathrm{I}

can be solved in consecutive even integers

\mathrm{II}

puede resolverse con enteros consecutivos

\mathrm{II}

can be solved in consecutive integers

\mathrm{II}

puede resolverse con enteros pares consecutivos

\mathrm{II}

can be solved in consecutive even integers

\mathrm{II}

puede resolverse con enteros impares consecutivos

\mathrm{II}

can be solved in consecutive odd integers

Respuesta: C

Conceptos:sucesión aritmética divisibilidad ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Escribe las sumas de tres y de cuatro enteros consecutivos

Write the sums of three and four consecutive integers

Pista grande:

Comprueba cuál de los promedios necesarios es compatible con

46

Check which required average is compatible with

46

Solución:

La suma de tres enteros consecutivos es divisible por

3,

así que no puede ser

46.

Cuatro enteros consecutivos que comienzan con

n

tienen suma

4n+6.

Al imponer

4n+6=46

se obtiene

n=10,

y, en efecto,

10+11+12+13=46.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of three consecutive integers is divisible by

3,

so it cannot be

46.

Four consecutive integers beginning with

n

have sum

4n+6.

Setting

4n+6=46

gives

n=10,

and indeed

10+11+12+13=46.

Therefore, the correct answer is C.