1962 AMC 12 Problema 15

Question

Se da el triángulo

ABC

, cuya base

AB

está fija en longitud y posición. Cuando el vértice

C

se mueve sobre una recta, el punto de intersección de las tres medianas se mueve sobre:

Given triangle

ABC

with base

AB

fixed in length and position. As the vertex

C

moves on a straight line, the intersection point of the three medians moves on:

un círculo

a circle

una parábola

a parabola

una elipse

an ellipse

una recta

a straight line

una curva no enumerada aquí

a curve here not listed

Respuesta: D

Conceptos:baricentro transformación vector

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El baricentro está a dos tercios del trayecto desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto

The centroid lies two-thirds of the way from a vertex to the midpoint of the opposite side

Pista grande:

Con

AB

fijo, expresa el baricentro como un punto fijo más un tercio del vector de posición de

C

With

AB

fixed, express the centroid as a fixed point plus one-third of the position vector of

C

Solución:

Sean

A,

B,

y

C

también sus vectores de posición. El baricentro es

G=\frac{A+B+C}{3}.

Como

A

y

B

son fijos, esto es una traslación y una escala de factor

\frac{1}{3}

de la posición de

C.

Por tanto, un lugar geométrico rectilíneo se transforma en otro lugar geométrico rectilíneo.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let

A,

B,

and

C

also denote their position vectors. The centroid is

G=\frac{A+B+C}{3}.

Since

A

and

B

are fixed, this is a translation and scaling by

\frac{1}{3}

of the position of

C.

A straight-line locus therefore maps to a straight-line locus.

Thus, the correct answer is D.