1963 AMC 12 Problema 25

Question

Se toma el punto

F

en el lado

AD

del cuadrado

ABCD.

Por

C

se traza una perpendicular a

CF,

que corta a la prolongación de

AB

en

E.

El área de

ABCD

es

256

pulgadas cuadradas y el área del triángulo

CEF

es

200

pulgadas cuadradas. Entonces el número de pulgadas de

BE

es:

Point

F

is taken in side

AD

of square

ABCD.

At

C

a perpendicular is drawn to

CF,

meeting

AB

extended at

E.

The area of

ABCD

is

256

square inches and the area of triangle

CEF

is

200

square inches. Then the number of inches in

BE

is:

12

14

15

16

20

Respuesta: A

Conceptos:cuadrado (geometría)congruencia (geometría)área del triángulo Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Demuestra que los triángulos rectángulos

CDF

y

CBE

son congruentes

Show that right triangles

CDF

and

CBE

are congruent

Pista grande:

Entonces

CF=CE,

así que usa el área del triángulo rectángulo

CEF

Then

CF=CE,

so use the area of right triangle

CEF

Solución:

Los ángulos agudos complementarios y los lados iguales del cuadrado dan

\triangle CDF\cong\triangle CBE,

y por tanto

CF=CE.

Como

CF\perp CE,

\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}

de modo que

CE=20.

El lado del cuadrado mide

16,

y el triángulo rectángulo

CBE

da

BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The complementary acute angles and the equal square sides give

\triangle CDF\cong\triangle CBE,

hence

CF=CE.

Since

CF\perp CE,

\begin{aligned} 200=[CEF] &=\frac12 CE\cdot CF\\ &=\frac12CE^2, \end{aligned}

so

CE=20.

The square side is

16,

and right triangle

CBE

gives

BE=\sqrt{20^2-16^2}=12.

Therefore, the correct answer is A.