1965 AMC 12 Problema 22

Question

Si

a_2\ne0

y

r,

s

son las raíces de

a_0+a_1x+a_2x^2=0,

entonces la igualdad

\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}

se cumple:

If

a_2\ne0

and

r,

s

are the roots of

a_0+a_1x+a_2x^2=0,

then the equality

\begin{aligned} a_0+a_1x+a_2x^2 &=a_0\left(1-\frac xr\right)\\ &\quad\cdot\left(1-\frac xs\right) \end{aligned}

holds:

para todos los valores de

x,

si

a_0\ne0

for all values of

x,

a_0\ne0

para todos los valores de

x

for all values of

x

solo cuando

x=0

only when

x=0

solo cuando

x=r

o

x=s

only when

x=r

or

x=s

solo cuando

x=r

o

x=s,

si

a_0\ne0

only when

x=r

or

x=s,

a_0\ne0

Respuesta: A

Conceptos:cuadrática Fórmulas de Vieta factorización

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

El lado derecho requiere que ambas raíces sean distintas de cero

The right side requires both roots to be nonzero

Pista grande:

Usa

rs=\frac{a_0}{a_2}

para comparar los coeficientes principales

Use

rs=\frac{a_0}{a_2}

to compare the leading coefficients

Solución:

Si

a_0\ne0,

entonces

rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0

y

\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}

que es el polinomio original para todo

x.

Si

a_0=0,

al menos un denominador del lado derecho es cero.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

If

a_0\ne0,

then

rs=\frac{a_0}{a_2}\ne0

and

\begin{gathered} a_0\left(1-\frac xr\right) \left(1-\frac xs\right)\\ =\frac{a_0}{rs}(x-r)(x-s)\\ =a_2(x-r)(x-s), \end{gathered}

which is the original polynomial for every

x.

If

a_0=0,

at least one denominator on the right is zero.

Therefore, the correct answer is A.

1965 AMC 12 Problema 22

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 2000

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 22 en otros años